Roberto Punčec karijeru je počeo u Trnju iz Trnoveca sa sedam godina. Roberto je vrlo brzo prešao u Varteks iz Varaždina gdje je prošao omladinsku školu. Iako je počeo kao napadač, ali kroz godine se ustalio na poziciji stopera.

Roberto je u dresu Varteksa odnosno Varaždina skupio 66 nastupa postigavši tri gola. Zanimljiv je podatak da je čak dva gola postigao upravo protiv Rijeke.

Prvi je stigao 5. prosinca 2009. u remiju Rijeke i Varteksa na Kantridi (3:3). Drugi je gol postigao u pobjedi Varaždina (2:1) u četvrtfinalu Kupa Hrvatske 9. studenog 2010. godine.

U to vrijeme Roberto je imao priliku učiti od Miljenka Mumleka i Davora Vugrinca, legendi Varteksa.

Roberto je u dresu Rijeke debitirao 22. srpnja 2017. godine u pobjedi protiv Rudeša

U 2011. godini Punčec je karijeru nastavio u Maccabi Tel Avivu, dok je sezonu 2012./2013. proveo na posudbi u Union Berlinu.

Nakon pet godina provedenih u Union Berlinu, Roberto se odlučio na novi izazov, a sve najbolje o Rijeci ispričao mu je Damir Kreilach, njegov suigrač u Berlinu.

Roberto je u dresu Rijeke debitirao 22. srpnja 2017. godine u pobjedi protiv Rudeša, a prvi gol postigao je 10. prosinca 2017. godine u slavlju protiv Slaven Belupa.

Roberto je ujedno prošao kroz sve mlade uzrasne kategorije hrvatske nogometne reprezentacije.