Matko Babić nogometni put počeo je u Dubravi sa šest godina. U Dubravi je proveo četiri godine, nakon čega je stigao poziv Dinama i Matko je 2009. karijeru nastavio u redovima modrih.

Do kadetskog uzrasta nosio je dres Dinama, zatim je jednu godinu igrao u Zagrebu, te je 2014. godine prešao u redove Lokomotive.

Razvojni put u sezoni 2016./2017. nastavio je na posudbi u Rudešu, pod paskom Igora Bišćana. Koliko je bila uspješna suradnja svjedoči podatak da je Rudeš izborio plasman u Prvu ligu, te je ujedno namučio Rijeku u osmini finala Kupa Hrvatske.

Van travnjaka Matko provodi vrijeme s djevojkom i obitelji, voli kartati s dvoje braće i sestrom, te voziti bicikl i igrati tenis

Rijeka je slavila nakon produžetaka 5:3 (3:3), a Rudeš se vratio nakon zaostatka 0:3. Domaćin je u toj utakmici izborio čak tri najstrože kazne, a sva tri prekršaja bila su napravljena upravo na Babiću.

U svijetu nogometa kao uzor će istaknuti Cristiana Ronalda, počevši od talenta preko rada kojeg Portugalac ulaže da bi bio na najvišoj razini. Od hrvatskih napadača, kao uzore, istaknut će Marija Mandžukića i Andreja Kramarića.

Van travnjaka Matko provodi vrijeme s djevojkom i obitelji, voli kartati s dvoje braće i sestrom, te voziti bicikl i igrati tenis. U slobodno vrijeme ujedno voli čitati biografije poznatih nogometaša.